Numerik partieller Differentialgleichungen für Ingenieure

1 Einleitung.- 1.1 Modellbildung.- 1.2 Benutzung eines mathematischen Modells.- 1.3 Anliegen dieses Buches.- 2 Übersicht.- 2.1 Eine Übersicht technischer Probleme.- 2.2 Klassifizierung von PDG zweiter Ordnung.- 3 Differenzenverfahren.- 3.1 Differenzenverfahren in einer Dimension.- 3.2 Differenzenverfahren in mehreren Dimensionen.- 3.3 Finite Volumenmethode (FVM).- 4 Minimierungsprobleme in der Physik.- 4.1 Eindimensionale Minimierungsprobleme.- 4.2 Zweidimensionale Minimierungsprobleme.- 4.3 Von der PDG zum Minimierungsproblem.- 5 Die Finite-Elemente-Methode.- 5.1 Die numerische Lösung von Minimierungsproblemen.- 5.2 Die Finite-Elemente-Methode (FEM).- 5.3 Praktische Berechnung von Elementmatrizen und -vektoren anhand einiger Beispiele.- 5.4 Globaler Fehler.- 5.5 Ordnungsreduktion mit partieller Integration.- 5.6 Isoparametrische Transformationen.- 6 Eine Fehlerabschätzung für das Poisson-Problem.- 6.1 Die Energienorm.- 6.2 Fehler bei linearer Interpolation.- 6.3 Interpolation höherer Ordnungen.- 6.4 Fehler als Folge der Randnäherung.- 6.5 Fehler als Folge der numerischen Integration.- 6.6 Konvergenz der numerischen Lösung.- 7 Mathematischer Hintergrund der FEM.- 7.1 Konvergenz der Ritzschen Methode.- 7.2 Das abstrakte Minimierungsproblem.- 7.3 Konvergenz der Ritzschen Methode.- 7.4 Konkretisierung von VI; Sobolew-Räume.- 7.5 Sobolew-Räume.- 7.6 Der Energieraum.- 7.7 Konvergenz der FEM für Minimierungsprobleme.- 7.8 Approximationstheorie.- 8 Die Galerkin-Methode.- 8.1 Eine schwache Formulierung.- 8.2 Andere schwache Formulierungen; Testfunktionen.- 8.3 Inhomogene Randbedingungen.- 8.4 Probleme höherer Ordnung.- 8.5 Galerkin-Methode.- 8.6 Einige Beispiele des Gebrauchs der Galerkin-Methode.- 8.7 Die gemischte Methode für Probleme höherer Ordnung.- 8.8Nichtkonforme Elemente.- 9 Mathematischer Hintergrund der Galerkin-Methode.- 9.1 Die Konvektions-Diffusionsgleichung.- 10 Einige in der Literatur oft vorkommende Elemente.- 10.1 Elemente auf Simplizes.- 10.2 Elemente auf Vierecken im ?2.- 10.3 Dreiecke mit krummem Rand im ?2.- 11 Lösungsmethoden für diskretisierte Systeme.- 11.1 Direkte Methoden.- 11.2 Iterative Methoden.- 11.3 Gradientenmethoden.- 11.4 Nichtlineare Systeme.- 12 Konvergenz nichtlinearer Iterationsprozesse.- 12.1 Ein allgemeines Konvergenzergebnis.- 12.2 Anwendung des Satzes von Ostrowski auf den SOR-Newton-Prozeß.- 13 Zeitabhängige Probleme.- 13.1 Parabolische Gleichungen.- 13.2 Hyperbolische Gleichungen.- 13.3 Die Transportgleichung.- 14 Die Wärmeleitungs- oder Diffusionsgleichung.- 14.1 Eine fundamentale Ungleichung.- 14.2 Die Linienmethode.- 14.3 Konsistenz der Ortsdiskretisierung.- 14.4 Zeitintegration.- 14.5 Stabilität der numerischen Integration.- 14.6 Genauigkeit der Zeitintegration.- 14.7 Schlußfolgerung für die Linienmethode.- 14.8 Spezielle Differenzenmethoden für die Wärmeleitungsgleichung.- 15 Die Wellengleichung.- 15.1 Eine grundlegende Gleichheit.- 15.2 Die Linienmethode.- 15.3 Numerische Zeitintegration.- 15.4 Stabilität der numerischen Integration.- 15.5 Totale Dissipation und Dispersion.- 15.6 Direkte Integration des Systems zweiter Ordnung.- 15.7 Das CFL-Kriterium.- 16 Die Transportgleichung.- 16.1 Charakteristiken.- 16.2 Flache Wellen.- 16.3 Numerische Methoden mit festen Gittern.- Anhang 1: Sätze von Gauß, Green und 'partiellen Integrationen'.- Anhang 2: Einige Sätze aus der linearen Algebra.- Literatur.- Stichwortverzeichnis.