Elementarmathematik in moderner Darstellung

Erster Teil: Fundamentale Strukturen.- I. Begriffe und Symbole der Mengenlehre. Operationen.- 1. Grunddefinitionen.- 2. Äquivalenzrelationen.- 3. Ordnungsrelationen.- 4. Operationen.- II. Die Zahlen.- 1. Die natürlichen Zahlen.- A. Addition.- B. Ordnungsrelation.- C. Wohlordnung.- D. Multiplikation.- E. Die Menge N der natürlichen Zahlen ist archimedisch.- 2. Relative Zahlen. Symmetrisierung.- A. Isomorphismus zweier Strukturen.- B. Erweiterung durch Symmetrisierung.- 3. Brüche und rationale Zahlen.- A. Die Brüche.- B. Die rationalen Zahlen.- C. Die Menge Z der ganzen Zahlen.- 4. Begriff der reellen Zahlen.- A. Einführung der Quadratwurzel.- B. Vollständigkeitsaxiom.- C. Eigenschaften der Menge R der reellen Zahlen.- D. Die Menge Q der rationalen Zahlen als Teilmenge der Menge R der reellen Zahlen.- III. Vektorräume.- A. Vektoren. Vektoroperationen.- B. Vektorräume.- C. Punktraum als Bild eines Vektorraumes.- IV. Abbildungen von Mengen aufeinander, Punkttransformationen, reelle Funktionen.- Erster Abschnitt: Der algebraische Standpunkt.- 1. Allgemeines über den Begriff der Abbildung.- A. Definitionen.- B. Die Gruppe der Abbildungen einer Menge auf sich.- 2. Punkttransformationen (Allgemeines).- A. Terminologie.- B. Klassifizierung der Punkttransformationen.- C. Transmutation einer Punkttransformation durch eine andere Transformation.- 3. Reelle Punktionen einer Variablen (Allgemeines).- A. Definitionen.- B. Änderung einer reellen Funktion.- Zweiter Abschnitt: Der topologische Standpunkt.- 1. Allgemeines: Umgebungen Grenzwerte.- A. Der Begriff der Umgebung.- B. Stetigkeit und Grenzwert.- 2. Das Verhalten einer reellen Funktion in der Umgebung eines Punktes.- 3. Erweiterung des Stetigkeitsbegriffs: Gleichmäßige Stetigkeit.- A. Grundlegende Sätze.- B. Anwendungen auf stetige und differenzierbare Funktionen.- C. Erweiterung des Grenzwert- und Umgebungsbegriffs.- D. Anwendungen des Stetigkeitsbegriffes.- V. Einführung in die metrische Geometrie.- 1. Definition des euklidischen metrischen Raumes.- A. Einführung einer Metrik.- B. Anwendung auf den zweidimensionalen Vektorraum.- C. Metrische Geometrie im dreidimensionalen Raum.- D. Orientierung des zwei- und dreidimensionalen metrischen Raumes.- 2. Vektorprodukte im dreidimensionalen Raum.- A. Skalares Produkt.- B. Äußeres oder vektorielles Produkt (in der dreidimensionalen Geometrie).- C. Die trigonometrische Darstellungsweise.- 3. Winkel.- A. Kosinus und Sinus eines geordneten Paares von Einheitsvektoren.- B. Kongruenz von Vektorpaaren. Winkel.- 4. Grenzwerte bei trigonometrischen Funktionen. Bogenmaß. Berechnung von ?.- A. Winkel und Sehnen.- B. Grenzwert des Verhältnisses.- C. Näherungsweise Berechnung der Zahl ?.- VI. Boole-Algebra auf Mengen. Maße. Wahrscheinlichkeiten.- 1. Mengenalgebra.- 2. Maße.- A. Definitionen.- B. Das natürliche Maß auf der reellen Geraden.- C. Maße im zweidimensionalen Raum.- D. Maße im dreidimensionalen Raum.- E. Bogenlängen und Flächeninhalte gekrümmter Flächen.- 3. Einführung in die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung.- A. Maße über einer Menge von Ereignissen.- B. Wahrscheinlichkeiten (für endliche Mengen).- C. Stetige Wahrscheinlichkeiten für unendliche Mengen.- Zweiter Teil: Arithmetik und Algebra.- Erster Abschnitt: Zahlentheorie.- I. Die ganzen Zahlen.- 1. Zählverfahren (Kombinatorik).- 2. Die Euklid-Division.- 3. Teilbarkeit. Kongruenzen von ganzen Zahlen.- 4. Vielfache und Teiler. Primzahlen.- A. Vielfache und Teiler einer ganzen Zahl.- B. Fundamentalsatz der Zahlentheorie.- C. Anwendungen. Gemeinsame Vielfache und Teiler.- 5. Primzahlen.- 6. Zahlensysteme.- A. Das Prinzip des Stellenwertsystems.- B. Praktische Rechenregeln.- C. Teilbarkeitsgesetze.- 7. Der Euklid-Algorithmus. Verhältnisse von Größen.- A. Der Euklid-Algorithmus in der Menge der ganzen Zahlen.- B. Der Euklid-Algorithmus bei Größen.- II. Brüche. Rationale Zahlen. Dezimalzahlen.- A. Brüche.- B. Dezimalbrüche.- C. Der Ring der Dezimalbrüche im Körper der rationalen Zahlen.- III. Reelle Zahlen.- 1. Die Mächtigkeit von Teilmengen der Menge der reellen Zahlen.- A. Abzählbare Teilmengen.- B. Die Mächtigkeit des Kontinuums.- C. Ergänzende Bemerkung über Kardinalzahlen.- 2. Logarithmen. Verallgemeinerte Exponenten.- Zweiter Abschnitt: Algebraische Ausdrücke. Die Auflösung von Gleichungen.- I. Polynome. Gebrochene rationale Funktionen.- A. Definition des Polynoms.- B. Zahlenwerte eines Polynoms. Teilbarkeit durch x-a.- C. Division im Polynomring.- D. Gebrochene rationale Funktionen in einer Unbestimmten.- E. Polynome und gebrochene rationale Funktionen mit mehreren Unbestimmten.- F. Anmerkung über die Einführung trigonometrischer Begriffe in algebraische Probleme.- II. Die Auflösung von Gleichungen.- A. Definitionen.- B. Äquivalenz von Gleichungen.- C. Gleichungen und klassiche Systeme.- Dritter Teil: Analysis.- I. Verhalten der reellen Funktionen im Großen.- A. Wiederholung der Definitionen.- B. Zusammensetzung (Komposition) in der Menge der Funktionen.- C. Die Grundfunktionen.- D. Zusammengesetzte Funktionen.- E. Einführung einer Körper-Struktur.- II. Lokales Verhalten der Funktionen.- A. Wiederholung der Definitionen.- B. Stetigkeit und Grenzwert.- C. Ableitung.- D. Erweiterung der Begriffe Grenzwert und Ableitung.- III. Vom lokalen zum globalen Verhalten der Funktionen.- A. Wiederholung der Sätze über stetig differenzierbare Funktionen.- B. Über das Wachsen der differenzierbaren Funktionen.- IV. Graphen.- A. Verlauf im Großen.- B. Verhalten in einem Punkt.- C. Untersuchung von unendlichen Ästen.- D. Grundbegriffe der Differentialgeometrie ebener Kurven, Tangente-Krümmung.- V. Anwendungen der allgemeinen Sätze.- A. Spezielle Funktionen.- B. Anwendung auf die Lösung von Gleichungen.- VI. Integralfunktionen.- A. Das unbestimmte Integral einer Funktion.- B. Geometrische Interpretation der Integralfunktion.- C. Logarithmusfunktion und Exponentfunktion.- D. Differentialgleichungen.- E. Differentiale.- VII. Die komplexen Zahlen.- A. Historische Einführung.- B. Der Körper der komplexen Zahlen.- C. Funktionentheorie: Funktionen einer komplexen Variablen.- D. Hinweise auf Anwendungen.- Vierter Teil: Die Geometrien.- Erster Abschnitt: Affine und projektive Geometrie.- I. Affine Geometrie.- 1. Die Grundelemente.- A. Ebene Geometrie (zwei Dimensionen).- B. Geometrie im dreidimensionalen Raum R3.- C. Die baryzentrische Theorie (Schwerpunktstheorie).- 2. Affine Punkttransformationen.- A. Allgemeine affine Transformationen.- B. Besondere affine Transformationen.- 3. Lineare Transformationen. Grundbegriffe der Matrizenrechnung.- II. Grundbegriffe der projektiven Geometrie.- A. Perspektivität zwischen zwei Ebenen.- B. Invarianzeigenschaften kollinearer Punkte.- C. Projektive Koordinaten.- D. Ebene projektive Transformationen.- E. Harmonische Teilung. Harmonische Büschel.- F. Versuch eines direkten axiomatischen Aufbaus der projektiven Geometrie.- Zweiter Abschnitt: Metrische Geometrien.- I. Euklidische metrische Geometrie.- 1. Metrische Relationen.- A. Längenrelationen.- B. Analytische metrische Geometrie der Ebene.- C. Metrische Beziehungen zur Einführung der trigonometrischen Funktionen.- 2. Kreis und Kugel.- A. Kreis und Winkel.- B. Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises.- C. Kreisscharen.- D. Über die Zuordnung mittels Polarität.- 3. Punkttransformationen der metrischen Geometrie.- A. Affine Transformation in der metrischen Geometrie.- B. Eigentliche und uneigentliche Bewegungen.- C. Die Ähnlichkeit.- II. Die Inversion. Elemente der kreistreuen Geometrie.- A. Die Inversion als Transformation der metrischen Geometrie.- B. Grundbegriffe der Geometrie der Kreise und Kugeln.- III. Grundbegriffe der nichteuklidischen metrischen Geometrien.- A. Vorbemerkungen.- B. Die Geometrie von Lobatschewskij.- C. Das Poincaré-Modell für die Geometrie von Lobatschewskij.- D. Die sphärische Geometrie als Modell einer Riemann-Geometrie.- Dritter Abschnitt: Die Kegelschnitte.- A. Definition am Drehkegel.- B. Die Kegelschnitte in analytischer Behandlung. Der Grad.- C. Affine Eigenschaften der Mittelpunktskegelschnitte.- D. Die Kegelschnitte in der projektiven Geometrie.- E. Tangenten an die Kegelschnitte.- Syntax: die Ordnung der Quantoren.- Allgemeines über Mengen.- Über die Menge der natürlichen Zahlen.- Über Quadratwurzeln.- Beispiel einer endlichen Gruppe.- Beispiele von Ringen.- Polynome und Polynomfunktionen.- Der Begriff der Konvexität einer Teilmenge.- Systeme numerischer Ungleichungen: Lineare Programmierung.- Mengen, die von einem Parameter abhängen.- Übungen zur affinen und projektiven Geometrie.- Bemerkungen über den Begriff der Umkehrung (des Kehrsatzes).- Anmerkung über die Lösung von Problemen.- Wiederholung der Kinematik und Übungen dazu.- Mathematische Prinzipien der Zweitafelprojektion.